Διάλεξη:

1

2

3

4

5

6

7

3. ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΟΥΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ

3.1 Ομογενής Δ.Ε.

Η τυπική μορφή είναι:    ay'' + by' + cy=0     με a,b,c σταθερές.

Η αντικατάσταση:   y=e^ρx    όπου ρ άγνωστη (εν γένει) παράμετρος,δίνει την χαρακτηριστική εξίσωση:

aρ² + bρ + c=0

με ρίζες ρ₁,ρ₂.

Πρώτη περίπτωση:  Αν ρ₁=ρ₂

Τότε η ομογενής Δ.Ε. έχει γενική λύση:

y=C₁e^ρ₁x + C₂e^ρ₂x

όπου C₁,C₂ είναι αυθαίρετες σταθερές.

Δεύτερη περίπτωση:  Αν ρ₁=ρ₂

Η ομογενής Δ.Ε. έχει τη γενική λύση:

y=C₁e^ρx + C₂xe^ρx

3.1 Μη ομογενής Δ.Ε.

Για την πλήρη λύση της Δ.Ε.    ay'' + by' + cy=R(x) 
όπου R(x) είναι γραμμικός συνδυασμός πολυωωύμων,εκθετικών,τριγωνομετρικών, κ.λ.π. συναρτήσεων,χρειαζόμαστε μόνο μια μερική λύση y_ρ,δεδομένου ότι η γενική της λύση είναι: y=y₀ + y_ρ,    όπου y₀ είναι η γενική λύση της αντίστοιχης ομογενούς.

Για την y_ρ ισχύει:

R(x)	yρ
1.Πολυώνυμο	Πολυώνυμο ίδιου βαθμού
2.Γραμμικός συνδυασμός εκθετικών	Γραμμικός συνδυασμός ίδιων εκθετικών
3.Γραμμικός συνδυασμός ημιτόνων, συνημιτόνων	Γραμμικός συνδυασμός ημιτόνων, συνημιτόνων ίδιου ορίσματος
4.Γραμμικός συνδυασμός των προηγουμένων	Γραμμικός συνδυασμός των αντίστοιχων λύσεων