Διάλεξη:

1

2

3

4

5

6

7

2.4 Εξισώσεις Bernoulli

Η μη γραμμική εξίσωση Bernoulli
$$\frac{dy}{dx}=a(x)+b(x)y^ν$$
όπου ν αυθαίρετο, μετατρέπεται σε απλή γραμμική εξίσωση μέσω του μη γραμμικού μετασχηματισμού y=u^μ .
Η κατάλλλη επιλογή του εκθέτη μ βρίσκεται μετά απο αντικατάσταση στην εξίσωση. Τελικά y=u^1/1-ν .

2.5 Εξίσωση Ricatti

Η γενική λύση της μη γραμμικής εξίσωσης Ricatti:
$$\frac{dy}{dx}=a(x)y^2+b(x)y+c(x)$$
βρίσκεται μέσω του μετασχηματισμού:  y=Y+y₀
όπου y₀ είναι μια μερική λύση της εξίσωσης Ricatti.
Ο μετασχηματισμός αυτός μετατρέπει την εξίσωση Ricatti σε μια εξίσωση τύπου
Bernoulli για το Υ:
$$\frac{dy}{dx}=aY^2+(c+2ay_0)Y$$

O λογαριθμικός μετασχηματισμός:
$$y=-\frac{1}{a}\frac{u'}{u}$$
μετατρέπει την πρωτοβάθμια εξίσωση Ricatti σε γραμμική εξίσωση δεύτερης τάξης της μορφής:
$$u''-(\frac{a'}{a}+b)u'+cau=0$$