Διάλεξη:

1

2

3

4

5

6

7

4. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΝΙΟΣΤΗΣ ΤΑΞΗΣ

4.1 Βασικές έννοιες

1. Η γενική γραμμική διαφορική εξίσωση νιοστής τάξης

μπορεί να γραφτεί συμβολικά σαν Ly=R
αν ορίσουμε τον γραμμικό διαφορικό τελεστή L:

Για την ομογενή  Ly=0   ο γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι επίσης λύση.

2. Γραμμική ανεξαρτησία

Οι συναρτήσεις y₁,y₂,...y_n   ονομάζονται γραμμικά ανεξάρτητες αν καμμία απο αυτές δεν μπορεί να γραφεί ως γραμμικός συνδυασμός των υπολοίπων.Διαφορετικά ονομάζονται γραμμικά εξαρτημένες.
Αν ο μοναδικός τρόπος να ισχύει: c₁y₁+c₂y₂+.....+c_ny_n=0, με c₁,c₂,...c_n  αυθαίρετες σταθερές, είναι ,  c₁=c₂=....=c_n=0, τότε οι συναρτήσεις y₁,y₂,...y_n   είναι γραμμικά ανεξάρτητες.

3. Η Βρονσκιανή των συναρτήσεων y₁,y₂,...y_n   ορίζεται σαν:

4. Συνθήκη γραμμικής ανεξαρτησίας των y₁,y₂,...y_n

$$W(x) \neq 0$$

 

5. Για την ομογενή γραμμική Δ.Ε. δεύτερης τάξης:

ισχύει: 

4.2 Γραμμική διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης

Βρονσκιανή : W=y₁y₂' -y₁'y₂

(I). Ομογενής

Υποθέτουμε ότι y₁ είναι λύση της ομογενούς.
Κάνουμε τον μετασχηματισμό:y=y₁Y,οπότε ισχύει:

Αντικαθιστούμε:

Τελικά,μια και y=y₁Y,η δεύτερη λύση δίνεται από:       ΔΕΥΤΕΡΗ ΛΥΣΗ ΟΜΟΓΕΝΟΥΣ

(II). Μη ομογενής

Αν y₁ είναι πάλι λύση της ομογενούς και κάνουμε το μετασχηματισμό y=y₁Y παίρνουμε όπως και πριν:
    ή αλλιώς     
Η λύση ως προς Υ' δίνεται (σελ.41):

Για το Y(x) έχουμε:

Τελικά,μια και y=y₁Y

      ΕΙΔΙΚΗ ΛΥΣΗ ΜΗ ΟΜΟΓΕΝΟΥΣ